SSL証明書の適用先はさくらのクラウドのウェブサーバで運用しているWebサイトの件で質問されてますかね？
（エンハンスドロードバランサやウェブアクセラレータといったサービスを利用する場合は、証明書の自動インストールや更新機能がついているようでしたので）
であれば、SSL証明書そのものに自動更新機能はないので、更新時には証明書の再取得およびWebサーバーへの再設定が必要となるかと思います。
一般的には ACMEクライアント（certbot 等）の設定、証明書更新後の
Webサーバー再読み込み設定、cron等を用いた自動実行設定などを行うケースになるのではないかと。
今後スケールする予定があるなら、エンハンスドLBを利用するのも運用負荷が下がるかもしれません。
以下ブログを参考までに貼っておきますね。